Toto je starší verze dokumentu!

Přednáška z Diskrétní matematiky 2019/20

Přednáším Diskrétní matematiku (NDMI002) každé úterý v 9:00 v učebně S5.

Pokud se mnou chcete cokoliv probrat, jste vítáni v mé pracovně S326 na Malé Straně. Případně napište e-mail na adresu koutecky+dm@iuuk.mff.cuni.cz a/nebo uveďte v předmětu text [DM].

V druhé paralelce přednáší Martin Mareš, přednášku se budeme snažit udržovat synchronní.

datum	co se přednášelo [zdroj]
1. 10.	Motivační příklady: na každé party o 5 lidech se tři znají nebo tři neznají, kdy jde obrázek nakreslit jedním tahem, kolika způsoby skákat po schodech. Co je diskrétka a k čemu je dobrá? Jak se buduje matematika (definice, axiomy, věty, důkazy: přímo, sporem, indukcí). Značení: sumy, produkty, množiny, n-tice, kartézský součin. [K 1.1-1.3]
8. 10.	Relace, jejich znázornění, příklady od doc. Fialy (1, 2, 3), skládání a inverze. Vlastnosti relací: reflexivita, symetrie, tranzitivita, slabá antisymetrie. Ekvivalence a to, že jsou jednoznačně vystiženy svými třídami. [K 1.4-1.5]
15. 10.	Částečná uspořádání (příklad), funkce prosté, na, bijektivní. Úvod do kombinatorického počítání, počet funkcí $f: [n] \to [m]$, počet prostých funkcí, počet podmnožin $[n]$, binomický koeficient $\binom{n}{k}$ a kombinatorické důkazy pár základních vztahů s $\binom{n}{k}$. [K 2.1-2.3]
22. 10.	Binomická věta [Z 4], odhady $n!$ a $\binom{n}{k}$ [K 2.4-2.5], princip inkluze a exkluze [K 2.6]
29. 10.	Imatrikulace – můžete si přečíst možná překvapivou stránku o slavné písni Gaudeamus Igitur
5. 11.	Problém šatnářky [K 2.7], [Z 4, Př 5], příklad pro $n=4$. Úvod do teorie grafů – definice: graf, úplný graf (klika), prázdný graf, cesta, kružnice, podgraf, indukovaný podgraf, doplněk grafu, sled v grafu, tah, cesta, cyklus, relace dosažitelnosti $u \sim v$ (z $u$ existuje cesta do $v$), isomorfismus, stupeň. Důkazy: odhad na počet neisomorfních grafů, dosažitelnost $u \sim v$ je ekvivalence, princip sudosti. [K 3.1-3.2], [Z 7b], [Z 8]
12. 11.	Děkanský den
19. 11.	Souvislost a komponenty souvislosti. Vzdálenosti v grafu (metrika). Operace s grafy: přidání a odebrání vrcholu/hrany. Stromy: definice, lemma o koncovém vrcholu, princip stromové indukce, věta o charakterizaci stromů. [K 3.2, 3.4, trochu 3.8, 4.1, 4.3], [Z 8, Z 9 (bez Eulerovských tahů)].
26. 11.	Plán (asi na další 2 přednášky): Kostra grafu: definice, existence, význam. Kreslení grafů jedním tahem: věta o existenci uzavřeného eulerovského tahu. Orientované grafy: silná a slabá souvislost, eulerovské tahy. Kreslení grafů do roviny. Trocha topologie roviny (oblouky, topologické kružnice), definice rovinného nakreslení. Stěny nakreslení. Jordanova věta o kružnici (bez důkazu). $K_5$ není rovinný. Barvení map a Problém 4 barev. Kreslení na sféru, stereografická projekce a možnost zvolit si vnější stěnu. Dualita rovinných (multi)grafů, převod barvení mapy na barvení rovinných grafů. Eulerova formule, triangulování grafů, horní odhad na počet hran rovinného grafu, existence vrcholu nízkého stupně. Věta o 5 barvách. Z 9 (bez stromů), Z 10].

Užitečné zdroje

Sbírka úloh z DM
Návod ke Studnici vědomostí, která obsahuje mnohé jinak těžko sehnatelné materiály, mrk, mrk.
Matoušek, Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum. Existuje několik různých vydání, která se liší číslováním kapitol; odkazy výše jsou podle staršího (černého). Také pozor na drobné chyby ve starších vydáních (viz errata). [K]
Matoušek: Podrobný sylabus o pravděpodobnosti [P] (PDF)
Mareš, Valla: Průvodce labyrintem algoritmů [L]
Poznámky Zdeňka Dvořáka [Z]
Slajdy doc. Fialy, většinou obsahují konkrétní příklady, dobré pro získání intuice.
Poznámky Toma Slámy z přednášek Martina Mareše